Granica ciągu - to liczba do której dążą kolejne wyrazy ciągu. Granicę ciągu liczbowego (an) oznaczamy tak: limn→∞an Przykład 1. Przykład 2. Definicja Liczba g jest granicą ciągu ( an ), jeżeli dla każdej dodatniej liczby ϵ, istnieje taka liczba N, że dla wszystkich n większych od N zachodzi: |an − g| < ϵ Zapis symboliczny powyższej definicji to: Rozwiązanie 7823404. Podobne zadania. Oblicz granicę . Rozwiązanie 7985978. Granice ciągów/Ciągi/Szkoła średnia - Treści i pełne rozwiązania zadań szkolnych i egzaminacyjnych z matematyki, 1666. Witam, ostatnio na kolokwium z matematyki trafił mi się taki przykład i nie wiedziałem jak go rozwiazać: \sqrt[n]{ 2^{n}+ 5^{n} + 7^{n} } Należy tutaj wykorzyst Matematyka.pl Forum matematyczne: miliony postów, setki tysięcy tematów, dziesiątki tysięcy użytkowników - pomożemy rozwiązać każde zadanie z matematyki Granica ciągu liczbowego to liczba, do której wyrazy tego ciągu zbliżają się nieograniczenie. Mówiąc inaczej, począwszy od pewnego wyrazu wszystkie następne wyrazy ciągu leżą tak blisko granicy, jak tylko chcemy. Ściślej: niech an oznacza n-ty wyraz ciągu (an). Obieramy dowolnie małą liczbę dodatnią ?. Granice ciągów — podstawowe wzory. Poniższa tabela zawiera podstawowe wzory przydatne przy obliczaniu granic ciągów. Dla a 1 = 4 i q = 1 2 otrzymujemy ciąg ( 4, 2, 1, 1 2, 1 4,), który jest zbieżny do zera. Granice funkcji – wzory, przykłady, zadania. Funkcjonują dwie równoważne definicje granicy funkcji. Liczba jest granicą funkcji w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby rzeczywistej istnieje liczba taka, że dla wszystkich jeśli to . Liczba jest granicą funkcji w punkcie jeśli dla każdego ciągu zbieżnego do o wyrazach . Oblicz granice ciągu Adi: policzyć granice ciągu przykład najlepiej wpisać w wolframalpha żeby zobaczyć jak wygląda Limit[(3(2 − n) + 5(10 + 2 n) − 7(−1 + n))/(−2(−2 + 2 n) + 4(1 + n) + 7n), n −> Infinity] 5 gru 23:31 Mila: 3(2 − n) + 5(10 + 2 n) − 7(−1 + n) Lim= tak ? −2(−2 + 2 n) + 4(1 + n) + 7n 5 gru 23:34 Ajtek: Mila, tam chyba są potęgi . 5 gru 23:35 5 gru 23:36 Mila: No to zostawiam Cię Ajtku! walcz. 5 gru 23:38 Ajtek: Mila, fakt, że przypominałem sobie to niedawno ≠ że to umiem . 5 gru 23:43 Mila: Mam liczyć? 5 gru 23:45 Ajtek: Licz . Mi wyszło ∞ na szybko. Zapewne wielbłąd wielki... 5 gru 23:47 5 gru 23:48 Ajtek: Piotr czy my się dzisiaj "witalim" 5 gru 23:49 Piotr: chyba nie Witaj Ajtek, Mila PS ABBA hihi 5 gru 23:50 Piotr: 6 − 1*0 + 2/2 = ? takie zadanie dzisiaj na forum rozwiazalem ..........Piotrowi 5 gru 23:53 Ajtek: Cześć Piotr . Się nie hahaj, ABBA to klasyk 5 gru 23:56 Ajtek: Za trudne Mila, robiłem tą granice w pamięci. Nie miałem pewności, czy wynik się zgadza. A kodować rozwiązania mi się nie chciało. 5 gru 23:59 Mila:32 − n + 510 + 2 n − 7−1 + n =−2−2 + 2 n + 4(1 + n) + 7n 3*(1/3)n+25n+5−(1/7)*7n == 7n+4*4n−4n*(1/4) 3*(1/3)n+255*25n−(1/7)*7n ==dzielę licznik i mianownik przez 7n 1 25 1 3*()n+255* ()n− 21 7 7 lim=∞ 19 4 1+*()n 4 7 6 gru 00:00 Ajtek: Mila 6 gru 00:01 Mila: Ajtek, co ten stworek pluje na mnie? 6 gru 00:06 Ajtek: "Pluje" serduszkami . 6 gru 00:07 Mila: Piotrze, dlaczego wyśmiewasz ABBA? Dobranoc, Panowie 6 gru 00:13 Ajtek: Spokojnej Mila . 6 gru 00:21 Piotr: Dobranoc Mila sie nie wysmiewam tylko zauwazylem w jakims poscie, ze Ajtek cos wspomnial i tak podchwycilem. myslalem ze moze jakos Nasz Znawca rozwinie swoja mysl muzyczna 6 gru 00:28 6 gru 00:34 Piotr: 6 gru 00:43 Ajtek: Mila 6 gru 00:45 asdf: @Mila 32 − n = 32 * 3−n = 9 * (1/3)n 6 gru 01:37 Piotr: 6 gru 01:55 asdf: 6 gru 00:00, druga linijka 6 gru 02:11 Aga1.: @ asdf, masz rację, ale nie ma to wpływu na końcowy wynik. 6 gru 10:17 Granica ciągu liczbowego z liczbą e 10 przykładów z wyznaczeniem granicy ciągu liczbowego z liczbą e, gdy n->∞.Mówimy, że liczba g jest granicą ciągu (an) nϵN+ wtedy i tylko wtedy, gdy do każdego otoczenia liczby g należą prawie wszystkie wyrazy tego ciągu. Prawie wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu spełniają pewien warunek, wtedy i tylko wtedy, gdy warunku tego nie spełnia co najwyżej skończona liczba wyrazów. Mówimy, że ciąg (an), gdzie nϵN+, dąży do nieskończoności wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego A (A ϵ R) prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od A. I przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(n+7)/(n+9)]3n+8 II przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(n+2)/(n-5)]-4n+3 III przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(3n+4)/(3n-2)]7n+1 IV przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(5n+7)/(5n-1)](n+1)/9 V przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(7n-5)/(7n+6)]-3n+4 VI przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(n2+1)/(n2+5)]2n2+3 VII przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(3n2-4)/(3n2+2)]7n2+1 VIII przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(-5n3+2)/(-5n3-1)]6n3+5 IX przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(9n9-5)/(9n9+2)]8n9+2 X przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(-7n21+4)/(-7n21+1)]2n21+3 Post nr 352 1 Uzupełnienie wiadomości o granicach ciągu Wstęp do analizy, uzupełnienie wiedzy z klasy I,II Wyświetl 2 Granica funkcji w punkcie W tym temacie dowiesz się czym jest granica funkcji w punkcie. Wyświetl 3 Obliczanie granic funkcji w punkcie W tym temacie dowiesz się jak obliczać trudniejsze rodzaje granic funkcji w punkcie. Wyświetl 4 Granice jednostronne funkcji w punkcie W tym temacie dowiesz się czym jest granica jednostronna funkcji w punkcie. Wyświetl 5 Granice funkcji w nieskończoności W tym temacie nauczysz się liczyć granice funkcji w nieskończonościach. Wyświetl 6 Granice niewłaściwe funkcji W tym temacie dowiesz się czym jest granica niewłaściwa funkcji. Wyświetl 7 Ciągłość funkcji w punkcie W tym temacie dowiesz się jak określić ciągłość dowolnej funkcji w punkcie. Wyświetl 8 Ciągłość funkcji w zbiorze Wiesz już jak określić ciągłość dowolnej funkcji w punkcie. Tym razem rozpatrzymy ciągłość funkcji w zbiorze. Wyświetl 9 Asymptoty wykresu funkcji W tym temacie dowiesz się czym jest asymptota wykresu funkcji. Wyświetl 10 Pochodna funkcji w punkcie W tym nauczysz się obliczać pochodną funkcji w punkcie. Wyświetl 11 Funkcja pochodna Wiesz już w jaki sposób obliczamy pochodną funkcji w punkcie. W tym temacie poszerzysz swoją wiedzę na temat pochodnych. Wyświetl 12 Styczna do wykresu funkcji W tym temacie dowiesz się jak wyznaczyć wzór stycznej do dowolnej funkcji przy użyciu rachunku pochodnych. Wyświetl 13 Ekstrema lokalne funkcji W tym temacie poznasz uniwersalną metodę liczenia ekstremów dowolnej funkcji. Wyświetl 14 Największa i najmniejsza wartość funkcji w przedziale W tym temacie dowiesz się w jaki sposób wskazać największą oraz najmniejszą wartość funkcji w pewnym przedziale. Wyświetl 15 Badanie przebiegu zmienności funkcji W oparciu o poprzednie działy jesteś w stanie sporządzić poglądowy rysunek dowolnej funkcji. W tym temacie dowiesz się jak to zrobić. Wyświetl 16 Zadania optymalizacyjne Istotą zadań optymalizacyjnych jest wyznaczenie jak najlepszej (najbardziej optymalnej) wartości pewnej funkcji w danym kontekście. W tym dziale znajdziesz przykłady tego typu zadań wraz z ich rozwiązaniami. Wyświetl 17 Pochodna funkcji a monotoniczność funkcji W tym temacie dowiesz się w jakim celu korzysta się z pochodnej w zadaniach dotyczących monotoniczności funkcji. Wyświetl Granica ciągu - stałą liczbę g nazywa się granicą ciągu an, jeżeli dla każdego dodatniego dowolnie małego ϵ istnieje liczba N, dla której wszystkie wartości an o wskaźniku n > N spełniają nierówność: |an - g| < ϵ funkcja f (x) ma granicę w punkcie x0 Przykład 1. Oblicz: \(\lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{n}+2\) w związku z tym, że n \(\rightarrow \infty\) to widzimy, że podstawiając coraz większe wartości za n \(\lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{n}+2=0+2\) Twierdzenie o ciągach zbieżnych: każdy ciąg stały czyli taki, którego wszystkie wyrazy są równe pewnej liczbie x jest zbieżny a jego granica \(\lim\limits_{x \to \infty} x=x\) ciąg zbieżny jest zawsze ograniczony, jednak w odwrotną stronę nie zawsze jest to prawdziwe np w przypadku ciągów naprzemiennych granicą każdego podciągu ciągu zbieżnego jest granica tego ciągu jeżeli \(\lim\limits_{n \to \infty} x_n=x\) oraz \(\lim\limits_{n \to \infty} y_n=y\) to istnieją takie zależności \(\lim\limits_{n \to \infty} ( x_n \pm y_n)=x \pm y\) \(\lim\limits_{n \to \infty} ( x_n * y_n)=x * y\) \(\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b}\) Spis treści1. Co to jest granica funkcji? Definicja Heinego Definicja Cauchy'ego granicy2. Jak liczyć granice funkcji? Własności granic funkcji - reguły Granice funkcji - wzory3. Granice Jak wykazać, że granica funkcji nie istnieje?4. Twierdzenie o trzech funkcjach5. Jak liczyć granice niewłaściwe? Twierdzenie o dwóch funkcjach6. Symbole Jak pozbyć się symboli nieoznaczonych?7. Reguła de L' Jak przekształcać symbole nieoznaczone?8. Jak liczyć granice funkcji w kalkulatorze Podsumowanie - zasady ułatwiające liczenie granic funkcji10. Sprawdź swoją wiedzę o graniach funkcji - zadania kontrolne1. Co to jest granica funkcji?Granicę funkcji \(f(x)\) w punkcie \(x_0\) (mówi się też, gdy \(x\) dąży do \(x_0\) lub przy \(x\) dążącym do \(x_0\)) oznaczamy przez:\[\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=g\]lub\[f(x)\to g,\,\,\,\textrm{gdy}\,\,\,x\to x_0\]gdzie \(g\) jest wynikiem granicy, który może:1. być jakąś liczbą rzeczywistą, np. \(g=-5\frac{1}{3}\), \(g=0\) itp. - taką granicę nazywa się granicą właściwąPrzykład\[\lim\limits_{x\to 0}x^2=0\]2. być nieskończonością, czyli \(g=-\infty\) lub \(g=+\infty\) - taką granicę nazywa się niewłaściwąPrzykład\[\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x^2}=+\infty\]3. wogóle nie istniećPrzykład\[\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x}\,\,-\,\,\textrm{nie istnieje}\]Pamiętaj, że możliwe są tylko 3 przypadki omówione granica właściwa funkcji to taka wartość \(g\) (liczba), że gdy \(x\) jest bardzo blisko wartości \(x_0\) (a nawet \(x=x_0\), gdy punkt \(x_0\) należy do dziedziny funkcji), to wartość funkcji w punkcie x, czyli \(f(x)\) jest bardzo blisko wartości \(g\) (a nawet \(f(x_0)=g\), gdy funkcja jest ciągła w punkcie \(x_0\)).Granica niewłaściwa (czyli \(-\infty\) lub \(+\infty\)) występuje wtedy, gdy dla argumentów w pobliżu punktu \(x_0\) (czyli \(x\to x_0\)) wartości funkcji są dowolnie duże w przypadku granicy równej \(+\infty\) (czyli \(f(x)\to +\infty\)) lub dowolnie małe w przypadku granicy równej \(-\infty\) (czyli \(f(x)\to -\infty\)).Przykład 1Weźmy bardzo prostą granicę funkcji \(f(x)=x\), przy x dążącym do zera, czyli \(x\to 0\). Taka granica jest równa zero: \[\lim\limits_{x\to 0} x=0\]ponieważ, gdy x jest bardzo blisko liczby 0, możemy przyjąć nawet, że \(x=0\), to funkcja \(f(x)=x\), która jest ciągła w punkcie \(x=0\), przyjmuje wartość równą zero, \(f(0)=0\). Zatem wartością granicy jest \(g=0\).Na poniższym rysunku widać jak funkcja \(f(x)=x\) dąży do 0, gdy \(x\to 0\):ZASADA 1: Granica funkcji \(f(x)\) ciągłej w punkcie \(x_0\) przy \(x\to x_0\) jest równa wartości tej funkcji w punkcie \(x_0\), czyli \(f(x_0)\):\[\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\]Obrazowo, funkcja \(f(x)\) jest ciągła w jakimś punkcie \(x_0\) (należącym do jej dziedziny), gdy wykres tej funkcji można poprowadzić przez punkt \(x_0\) bez odrywania ręki (długopisu, ołówka itp.). UWAGA: Warunek \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\) stanowi tak naprawdę ścisłą, matematyczną definicję funkcji ciągłej. Idea ciągłości funkcji jest jednak bardzo intuicyjna i spokojnie możesz na razie kojarzyć ciągłość z wykresem funkcji, który po prostu nie ma skoków, ani żadnych "dziur". Przykład 2Funkcja \(f(x)=x^2\) jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny (jej wykres da się narysować bez odrywania ręki od kartki, nie ma "dziur"), dlatego dla każdego \(x_0\in\mathbb{R}\) mamy:\[\lim\limits_{x\to x_0} x^2=x^2_0\]np. gdy \(x_0=2\), to \(\lim\limits_{x\to 2} x^2=2^2=4\)Przykład 3Funkcja \(f(x)=\sin(x)\) jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny (jej wykres da się narysować bez odrywania ręki od kartki), dlatego dla każdego \(x_0\in\mathbb{R}\) mamy:\[\lim\limits_{x\to x_0} \sin(x)=\sin(x_0)\]np. gdy \(x_0=0\), to \(\lim\limits_{x\to 0} \sin(x)=\sin(0)=0\)CIEKAWOSTKA: Granice funkcji, podobnie jak całki nieoznaczone i oznaczone oraz pochodne funkcji, są jednym z podstawowych zagadnień analizy Definicja Heinego granicyDefinicja jest taka sama w przypadku granicy właściwej i niewłaściwej (czyli gdy granica \(g\) jest liczbą lub nieskończonością):Niech \(x_0\in\mathbb{R}\) oraz funkcja \(f(x)\) jest określona (przynajmniej) na przedziale \((x_0-R,x_0)\cup (x_0,x_0+R)\), gdzie \(R>0\).Funkcja \(f(x)\) ma granicę równą \(g\) (właściwą lub niewłaściwą) w punkcie \(x_0\), czyli \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=g\), wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu liczbowego \(x_n\in (x_0-R,x_0)\cup (x_0,x_0+R)\) zachodzi implikacja:\[\lim\limits_{n\to \infty} x_n=x_0\,\,\Rightarrow\,\,\lim\limits_{n\to \infty} f(x_n)=g\]gdzie \(g\) jest liczbą rzeczywistą lub \(\pm \infty\). PrzykładKorzystając z definicji Heinego wykażemy, że\[\lim\limits_{x\to 0} x=0\]Weźmy dowolny ciąg \(x_n\to 0\), gdy \(n\to \infty\), taki, że \(x_n\in (-R,0)\cup (0,R)\), dla pewnego \(R>0\) np. \(x_n=\frac{1}{n}\) oraz \(f(x)=x\), wtedy:\[\lim\limits_{n\to \infty}f(x_n)=\lim\limits_{n\to \infty}x_n=0\]zatem \(\lim\limits_{x\to 0} x=0\). Definicja Cauchy'ego granicyW przypadku granicy właściwej definicja wygląda następująco:Niech \(x_0\in\mathbb{R}\) oraz funkcja \(f(x)\) jest określona (przynajmniej) na przedziale \((x_0-R,x_0)\cup (x_0,x_0+R)\), gdzie \(R>0\).Funkcja \(f(x)\) ma granicę równą \(g\in\mathbb{R}\) w punkcie \(x_0\), czyli \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=g\), wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby \(\epsilon>0\) istnieje taka liczba \(\delta>0\), że dla każdego \(x\in (x_0-R,x_0)\cup (x_0,x_0+R)\) zachodzi implikacja:\[|x-x_0|0\).Funkcja \(f(x)\) ma granicę równą \(\pm\infty\) w punkcie \(x_0\), czyli \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\pm\infty\), wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby \(\epsilon>0\) istnieje taka liczba \(\delta>0\), że dla każdego \(x\in(x_0-R,x_0)\cup (x_0,x_0+R)\) zachodzi implikacja:\[|x-x_0|\epsilon\]którą należy rozumieć następująco: jeżeli \(x\in(x_0-\delta,x_0)\cup (x_0,x_0+\delta)\), to wartość funkcji \(f(x)\) jest większa od \(\epsilon>0\) (wartość jest dowolnie duża). PrzykładKorzystając z definicji Cauchy'ego wykażemy, że\[\lim\limits_{x\to 0} \frac{1}{x^2}=+\infty\]Ustalmy \(\epsilon>0\) i weźmy \(0\frac{1}{\delta^2}>\epsilon\]ponieważ \(\frac{1}{|x|}>\frac{1}{\delta}\), gdy \(|x|\epsilon\), gdy \(\delta\epsilon\), a więc \(\frac{1}{x^2}\to +\infty\), gdy \(x\to 0\).Na poniższym rysunku widać, że funkcja \(f(x)=\frac{1}{x^2}\) "ucieka" do \(+\infty\) i nigdy nie dotknie osi OY, co więcej dla \(|x-x_0|\epsilon\):2. Jak liczyć granice funkcji? Własności granic funkcji - reguły liczeniaJeżeli istnieją granice \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\) i \(\lim\limits_{x\to x_0}g(x)\), to:Granica sumy funkcji jest równa sumie granic:\[\lim\limits_{x\to x_0}\big(f(x)+ g(x)\big)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)+ \lim\limits_{x\to x_0}g(x)\]Granica różnicy funkcji jest równa różnicy granic:\[\lim\limits_{x\to x_0}\big(f(x)- g(x)\big)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)-\lim\limits_{x\to x_0}g(x)\]Granica iloczynu liczby (stałej) przez funkcję jest równa iloczynowi liczby przez granicę funkcji:\[\lim\limits_{x\to x_0}\big(c\cdot f(x)\big)=c\cdot \lim\limits_{x\to x_0}f(x)\]Granica iloczynu funkcji jest równa iloczynowi granic:\[\lim\limits_{x\to x_0}\big(f(x)\cdot g(x)\big)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\cdot \lim\limits_{x\to x_0}g(x)\]Granica ilorazu funkcji jest równa ilorazowi granic:\[\lim\limits_{x\to x_0}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{\lim\limits_{x\to x_0}f(x)}{\lim\limits_{x\to x_0}g(x)},\,\,gdy\,\,\lim\limits_{x\to x_0}g(x)\neq 0\]Granica funkcji \(f(x)\) podniesionej do potęgi równej funkcji \(g(x)\) jest równa potędze granic tych funkcji:\[\lim\limits_{x\to x_0}\left(\big(f(x)\big)^{g(x)}\right)=\left(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\right)^{\left(\lim\limits_{x\to x_0}g(x)\right)}\]Przykład 1\[\lim\limits_{x\to 0}(x+\sin(x))=\lim\limits_{x\to 0}x+\lim\limits_{x\to 0}\sin(x)=0+\sin(0)=0\]Przykład 2\[\lim\limits_{x\to 1}2x^2=2\lim\limits_{x\to 1}x^2=2\cdot 1^2=2\]Przykład 3\[\lim\limits_{x\to \pi}x\sin(x)=\big(\lim\limits_{x\to \pi}x\big)\cdot \big(\lim\limits_{x\to \pi}\sin(x)\big)=\pi\cdot \sin(\pi)=\pi\cdot 0=0\]Przykład 4\[\lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{x+1}{\cos(x)}\right)=\frac{\lim\limits_{x\to 0}(x+1)}{\lim\limits_{x\to 0}\cos(x)}=\frac{0+1}{1}=1\]Przykład 5\[\lim\limits_{x\to 0}e^{\sin(x)}=\big(\lim\limits_{x\to 0}e\big)^{\lim\limits_{x\to 0}\sin(x)}=e^{\sin(0)}=e^0=1\]ZASADA 2: Granice skomlikowanych funkcji złożonych będących sumą, różnicą, iloczynem, ilorazem lub potęgą funkcji, możesz niemal zawsze rozbić na granice prostszych wyrażeń. Takie granice liczy się znacznie łatwiej! Granice funkcji - wzoryJeżeli funkcja \(f(x)\) jest ciągła w punkcie \(x_0\) (oznacza to, że można narysować wykres tej funkcji przez punkt \(x_0\) bez odrywania ręki), to:\[\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)\]Przykład 1Dla każdego \(a\in\mathbb{R}\) mamy:\[\lim\limits_{x\to a} x^2=a^2\]np. gdy \(a=1\), to\[\lim\limits_{x\to 1} x^2=1^2=1\]Przykład 2Dla każdego \(a>0\) mamy:\[\lim\limits_{x\to a} \ln x=\ln a\]np. gdy \(a=2\), to\[\lim\limits_{x\to 2} \ln x=\ln 2\]Przykład 3Dla każdego \(a\neq -1\) mamy:\[\lim\limits_{x\to a} \frac{x^2+2x-1}{x+1}=\frac{a^2+2a-1}{a+1}\]np. gdy \(a=0\), to\[\lim\limits_{x\to 0} \frac{x^2+2x-1}{x+1}=\frac{0^2+2\cdot0-1}{0+1}=\frac{-1}{1}=-1\]Niech funkcja \(f(x)\) będzie funkcją różniczkowalną (mającą pochodną), np. \(f(x)=x\), wtedy prawdziwe są poniższe wzory:Granice z funkcji trygonometrycznych:\[\lim\limits_{f(x)\to 0} \frac{\sin\big(f(x)\big)}{f(x)}=1\]\[\lim\limits_{f(x)\to 0} \frac{tg\big(f(x)\big)}{f(x)}=1\]\[\lim\limits_{f(x)\to 0} \frac{arctg\big(f(x)\big)}{f(x)}=1\]\[\lim\limits_{f(x)\to 0} \frac{\arcsin\big(f(x)\big)}{f(x)}=1\]Przykład 1\[\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin\big(x\big)}{x}=1\]Przykład 2\[\lim\limits_{x\to 0} \frac{tg\big(x\big)}{x}=1\]Granice z logarytmami:\[\lim\limits_{f(x)\to 0} \frac{a^{f(x)}-1}{f(x)}=\ln a,\,\,\,gdy\,\,\,a>0\]\[\lim\limits_{f(x)\to 0} \frac{e^{f(x)}-1}{f(x)}=1\]\[\lim\limits_{f(x)\to 0} \frac{\big(1+f(x)\big)^a-1}{f(x)}=\ln a,\,\,\,gdy\,\,\,a\in\mathbb{R}\]\[\lim\limits_{f(x)\to 0} \frac{\log_a \big(1+f(x)\big)}{f(x)}=\log_a e,\,\,\,gdy\,\,\,a>0,\,a\neq 1\]\[\lim\limits_{f(x)\to 0} \frac{\ln \big(1+f(x)\big)}{f(x)}=1\]Przykład 1\[\lim\limits_{x\to 0} \frac{2^{x}-1}{x}=\ln 2\]Przykład 2\[\lim\limits_{x\to 0} \frac{\ln \big(1+x\big)}{x}=1\]Granice z liczbą e:\[\lim\limits_{f(x)\to\pm \infty} \left(1+\frac{1}{f(x)}\right)^{f(x)}=e\]\[\lim\limits_{f(x)\to 0} \left(1+f(x)\right)^{\frac{1}{f(x)}}=e\]Przykład 1\[\lim\limits_{x\to \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e\]Przykład 2\[\lim\limits_{x\to 0} \left(1+x\right)^{\frac{1}{x}}=e\]UWAGA: Powyższe wzory można wyprowadzić używając reguły de L' Granice jednostronneGranicę prawostronną funkcji f(x) w punkcie \(x_0\) oznaczamy przez:\[\lim\limits_{x\to x^+_0}f(x)\]Zauważ, że \(x\to x^+_0\) (jest tu mały "plusik" na górze), co oznacza, że x dąży do \(x_0\) z prawej strony, czyli po wartościach większych niż \(x_0\).PrzykładDla przykładu, gdy \(x\to 1^+\) to możemy przyjąć, że \(x\) jest liczbą trochę większą od 1, np. x=1, że chcemy obliczyć granicę \(\lim\limits_{x\to 1^+}\frac{2}{x}\), przyjęliśmy, że x=1,001, stąd \(\frac{2}{x}=\frac{2}{1,001}\approx 2\), dlatego:\[\lim\limits_{x\to 1^+}\frac{2}{x}=2\]Natomiast granicę lewostronną funkcji f(x) w punkcie \(x_0\) oznaczamy przez:\[\lim\limits_{x\to x^-_0}f(x)\]Zauważ, że \(x\to x^-_0\) (jest tu mały "minus" na górze), co oznacza, że x dąży do \(x_0\) z lewej strony, czyli po wartościach mniejszych niż \(x_0\).PrzykładGdy \(x\to 1^-\) to możemy przyjąć, że \(x\) jest liczbą trochę mniejszą od 1, np. x=0, że chcemy obliczyć granicę \(\lim\limits_{x\to 1^-}\frac{2}{x}\), przyjęliśmy, że x=0,999, stąd \(\frac{2}{x}=\frac{2}{0,999}\approx 2\), dlatego:\[\lim\limits_{x\to 1^-}\frac{2}{x}=2\]Poniżej możesz zobaczyć rysunek ilustrujący ideę granic jednostronnych:Inne przykłady:\[\lim\limits_{x\to -2^-}\big(3x^3+2x+1\big)=3(-2)^3+2(-2)+1=-27\]\[\lim\limits_{x\to \sqrt{2}^-}x=\sqrt{2}\]\[\lim\limits_{x\to 1^+}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1^+}(x+1)=2\]\[\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{\sin x}{x}=1\]Granica funkcji w punkcie \(x_0\) istnieje, wtedy i tylko wtedy, gdy\[\lim\limits_{x\to x^-_0}f(x)=\lim\limits_{x\to x^+_0}f(x)=g\]wówczas piszemy\[\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=g\]Powyższy warunek jest warunkeim koniecznym i dostatecznym istnienia granicy Powyższy warunek stosuje się do znajdowania granic funkcji określonych przez wartość bezwzględną lub za pomocą kilku wzorów. Można go też użyć do wykazania, że granica funkcji nie Jak wykazać, że granica funkcji nie istnieje?Są na to 2 sposoby, których możesz używać do rozwiązywania konkretnych zadań:1. Oblicz granice jednostronne i sprawdź, czy są sobie równe. Jeśli są, to granica istnieje, a jeżeli nie, to granica funkcji nie istniejePrzykładNiech funkcja f(x) będzie określona następująco:\[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}x,&\textrm{gdy}&x0\]oraz\[\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=\lim\limits_{x\to x_0}h(x)=g\]to:\[\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=g\]UWAGA 1: Twierdzenie jest prawdziwe również dla granic właściwych jednostronnych oraz dla granic właściwych w 2: Nierówność \(f(x)\le g(x)\le h(x)\) musi być spełniona jedynie w otoczniu punktu \(x_0\) (nie musi być spełniona dla wszystkich \(x\))Przykład:Chcemy obliczyć granicę funkcji:\[\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\sin x}{x^2}=?\]Zauważmy, że dla wszystkich \(x\in \mathbb{R}\):\[\frac{-1}{x^2}\le \frac{\sin x}{x^2}\le \frac{1}{x^2}\]ponieważ \(\sin(x)\in[-1,1]\), ponadto:\[\lim\limits_{x\to \infty}\frac{-1}{x^2}=\lim\limits_{x\to \infty}\frac{1}{x^2}=0\]Zatem z Twierdzenia o 3 funkcjach mamy:\[\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\sin x}{x^2}=0\]Przykłady funkcji występujących w graniacach, które można obliczyć przy użyciu twierdzenia o 3 funkcjach:\[-1\le \sin x\le 1,\,\,\,x\in\mathbb{R}\]\[-1\le \cos x\le 1,\,\,\,x\in\mathbb{R}\]\[-\frac{\pi}{2}\le arctg\, x\le \frac{\pi}{2},\,\,\,x\in\mathbb{R}\]\[0\le arcctg\, x\le \pi,\,\,\,x\in\mathbb{R}\]\[-1\le sgn(x)\le 1,\,\,\,x\in\mathbb{R}\]\[x-1\le E(x)=\lfloor{x}\rfloor\le x,\,\,\,x\in\mathbb{R}\]gdzie \(sgn(x)\) to funkcja signum, czyli\[sgn(x)=\left\{\begin{array}{cc}1,&\textrm{dla}\,\,\,x>0\\0,&\textrm{dla}\,\,\,x=0\\-1,&\textrm{dla}\,\,\,x0Inne przykłady:\(\lim\limits_{x\to 2}\frac{x^2+1}{\sin(x)+2x}\)wpiszesz za pomocą polecenialim (x^2+1)/(sinx+2x) as x->2\(\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\ln x}{x+1}\)wpiszesz za pomocą polecenialim lnx/(x+1) as x->infZobacz również kalkulator granic funkcji jednej zmiennej mojego Podsumowanie - zasady ułatwiające liczenie granic funkcjiGranica funkcji ciągłej w punkcie, w którym liczymy granicę, jest równa wartości funkcji w tym punkcie. Licząc granice warto narysować pomocniczy wykres funkcji, na którym widać "kiedy i do czego funkcja dąży".Reguły liczenia granic pozwalają rozbijać granice skomplikowanych funkcji na sumy, różnice, iloczyny lub ilorazy granic prostszych funkcji - to znacznie ułatwia liczenieDo liczenia granic wyrażeń nieoznaczonych typu \(\left[\frac{0}{0}\right]\), \(\left[\frac{\infty}{\infty}\right]\) niezbędne są wzory, których należy nauczyć się na pamięć lub stosowanie reguły de L' Sprawdź swoją wiedzę o graniach funkcji - zadania kontrolne1. Oblicz granicę funkcji\[\lim\limits_{x\to 1} \frac{x^2-1}{x-1}\]Użyjemy wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\):\[\lim\limits_{x\to 1} \frac{x^2-1}{x-1}=\left[\frac{0}{0}\right]=\lim\limits_{x\to 1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1}(x+1)=1+1=2\]2. Oblicz granicę funkcji\[\lim\limits_{x\to 0} \frac{3+x^2}{\sin(x)-1}\]Zastosujemy reguły liczenia granic funkcji, czyli fakt, że granica ilorazu jest ilorazem granic oraz ciągłość funkcji występujących w granicy:\[\lim\limits_{x\to 0} \frac{3+x^2}{\sin(x)-1}=\frac{3+0}{0-1}=-3\]3. Oblicz granicę funkcji przy użyciu reguły de L'Hospitala:\[\lim\limits_{x\to 0} \frac{2^x-1}{x}\]\[\lim\limits_{x\to 0} \frac{2^x-1}{x}=\left[\frac{0}{0}\right]\stackrel{H}{=}\lim\limits_{x\to 0}\frac{(2^x-1)'}{x'}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{2^x \ln 2-0}{1}=2^0\cdot \ln 2=\ln 2\]Zrób kolejny krok i ucz się granic funkcji na przykładach

jak liczyć granice ciągu